Задание 7 ЕГЭ по информатике проверяет, умеете ли вы считать объём памяти для растрового изображения и оцифрованного звука. Это задание базового уровня: за него дают 1 первичный балл, компьютер для решения не нужен, а на выполнение спецификация ФИПИ отводит около 5 минут. Всё решение держится на двух формулах и аккуратной работе с единицами измерения. Разберём теорию, задачу из демоверсии 2027 года и основные типы, которые встречаются в вариантах.
Как устроено задание 7
В условии описывают картинку (размер в пикселях и количество цветов) или звукозапись (частота дискретизации, глубина кодирования, длительность, моно или стерео). Нужно найти объём файла, наибольшее число цветов, допустимую длительность или как изменится размер файла после перекодирования. Ответ — одно целое число.
Формулы для изображения и звука
Растровое изображение. Картинка состоит из $W \times H$ пикселей, на каждый тратится $i$ бит. Объём:
$$ I = W \cdot H \cdot i. $$
Глубина цвета $i$ связана с количеством цветов $N$ в палитре формулой $N = 2^i$. Если число цветов не степень двойки, берут наименьшее подходящее $i$: для 100 цветов нужно $i = 7$, потому что $2^6 = 64 < 100 \le 128 = 2^7$.
Оцифрованный звук. Звук записывается замерами: $f$ раз в секунду (частота дискретизации, Гц) берут значение сигнала и кодируют его $i$ битами (глубина кодирования). Объём:
$$ I = f \cdot i \cdot t \cdot k, $$
где $t$ — длительность в секундах, $k$ — число каналов: моно — 1, стерео — 2, квадро — 4.
Единицы измерения. На ЕГЭ приставки двоичные: 1 байт = 8 бит, 1 Кбайт = 1024 байта, 1 Мбайт = 1024 Кбайта. Удобно сразу помнить степени: $8 = 2^3$, $1024 = 2^{10}$, $1\ \text{Кбайт} = 2^{13}$ бит, $1\ \text{Мбайт} = 2^{23}$ бит.
Разбор задания 7 из демоверсии 2027
Условие. Лена записывает голосовое сообщение для своей подруги. Перед отправкой сообщение оцифровывается в формате стерео с частотой дискретизации 32 000 Гц и глубиной кодирования 16 бит. Определите наименьшее количество Кбайт, необходимое для сохранения сообщения в памяти (без учёта заголовка), если его длительность — 2 минуты 27 секунд.
Решение. Переводим время в секунды: $t = 2 \cdot 60 + 27 = 147$ с. Стерео — значит, $k = 2$. Объём в битах:
$$ I = 32\,000 \cdot 16 \cdot 147 \cdot 2 \ \text{бит}. $$
Делим на $2^{13}$, чтобы получить Кбайты, и выделяем степени двойки: $32\,000 = 2^8 \cdot 125$, $16 = 2^4$.
$$ I = \frac{2^8 \cdot 125 \cdot 2^4 \cdot 147 \cdot 2}{2^{13}} = 125 \cdot 147 = 18\,375 \ \text{Кбайт}. $$
Число получилось целым, поэтому округлять не нужно.
Ответ: 18375.
Приём со степенями двойки экономит время: длинное умножение не нужно, большая часть множителей сокращается.
Типы задания 7 и как их решать
Наибольшее количество цветов
Условие. Растровое изображение размером $640 \times 480$ пикселей занимает не более 320 Кбайт. Какое наибольшее количество цветов может быть в палитре?
Решение. На один пиксель приходится не больше
$$ i \le \frac{320 \cdot 2^{13}}{640 \cdot 480} \approx 8{,}53 \ \text{бита}. $$
Глубина цвета — целое число, поэтому $i = 8$, и цветов $N = 2^8 = 256$.
Ответ: 256.
Перекодирование: во сколько раз изменится файл
Условие. Музыкальный фрагмент записали в формате моно и сохранили без сжатия, размер файла 24 Мбайт. Затем тот же фрагмент записали в формате стерео с разрешением в 4 раза выше и частотой дискретизации в 1,5 раза меньше. Каков размер нового файла в Мбайтах?
Решение. Объём пропорционален каждому множителю формулы. Стерео увеличивает его в 2 раза, разрешение — в 4 раза, частота уменьшает в 1,5 раза:
$$ 24 \cdot 2 \cdot 4 : 1{,}5 = 128 \ \text{Мбайт}. $$
Ответ: 128.
Здесь не нужно знать ни частоту, ни длительность: важны только отношения. Разрешением в таких задачах называют глубину кодирования.
Объём изображения
Условие. Изображение $1024 \times 768$ пикселей закодировано с палитрой из $65\,536$ цветов. Сколько Кбайт оно занимает?
Решение. $65\,536 = 2^{16}$, значит, $i = 16$ бит. Объём: $\dfrac{2^{10} \cdot 768 \cdot 2^4}{2^{13}} = 2 \cdot 768 = 1536$ Кбайт.
Ответ: 1536.
Шаблон на Python для проверки
Задание решается на бумаге, но на КЕГЭ под рукой компьютер, и ответ полезно перепроверить. Например, для задачи о цветах:
W, H = 640, 480
limit_bits = 320 * 1024 * 8 # 320 Кбайт в битах
i = max(i for i in range(1, 33) if W * H * i <= limit_bits)
print(i, 2 ** i) # 8 256
А для звука удобно сразу получить Кбайты с округлением вверх, если в условии просят «наименьшее количество»:
from math import ceil
f, i, t, k = 32000, 16, 2 * 60 + 27, 2
print(ceil(f * i * t * k / 8 / 1024)) # 18375
Где писать и запускать такой код на экзамене, мы разобрали в статье про среду разработки Python для ЕГЭ.
Где теряют баллы
где теряют баллы
Делят на 1000 вместо 1024. На ЕГЭ Кбайт — это 1024 байта, а Мбайт — 1024 Кбайта.
Где теряют баллы. Забывают перевести биты в байты: формулы дают объём в битах, а ответ чаще всего нужен в Кбайтах или Мбайтах.
Где теряют баллы. Не учитывают стерео. Слово «стерео» в условии удваивает объём, «квадро» — учетверяет.
Где теряют баллы. Подставляют минуты вместо секунд. Частота дискретизации — замеры в секунду, поэтому время должно быть в секундах.
Где теряют баллы. Округляют не туда. Глубину цвета при ограничении сверху округляют вниз (как в задаче про 320 Кбайт), а «наименьшее количество Кбайт для хранения» — вверх.
Где теряют баллы. Путают глубину цвета и число цветов: в ответ просят $N = 2^i$, а пишут $i$.
Задачи для самопроверки
Задача 1. Изображение $128 \times 256$ пикселей использует палитру из 64 цветов. Сколько Кбайт оно занимает?
Задача 2. Звук записан в формате квадро с частотой дискретизации 48 кГц и глубиной кодирования 24 бита. Длительность записи — 1 минута. Какое наименьшее целое количество Мбайт нужно для её хранения?
Задача 3. Фотограф сохраняет 200 снимков размером $1920 \times 1080$ пикселей с глубиной цвета 24 бита без сжатия. Какое наименьшее целое количество Мбайт для этого нужно?
Ответы
Задача 1. $i = 6$, $I = \dfrac{2^7 \cdot 2^8 \cdot 6}{2^{13}} = 24$ Кбайта.
Задача 2. $I = 4 \cdot 48\,000 \cdot 24 \cdot 60$ бит $\approx 32{,}96$ Мбайта, ответ — 33.
Задача 3. $I = 1920 \cdot 1080 \cdot 24 \cdot 200$ бит $\approx 1186{,}52$ Мбайта, ответ — 1187.
Коротко о главном
Задание 7 ЕГЭ по информатике решается двумя формулами: $I = W \cdot H \cdot i$ для изображения и $I = f \cdot i \cdot t \cdot k$ для звука. Число цветов связано с глубиной цвета через $N = 2^i$. Переводите время в секунды, учитывайте стерео, делите на 1024 и раскладывайте числа на степени двойки — так счёт занимает пару минут. Ещё один разбор задания первой части, с кодом на Python, — задание 2 ЕГЭ по информатике.
Если хотите разобрать все задания КЕГЭ по системе, с занятием раз в неделю и ежедневной практикой, посмотрите курс подготовки к ЕГЭ по информатике. Проверить себя в формате экзамена можно на пробном ЕГЭ по информатике.
Разбор подготовил Максим Муратов, преподаватель информатики, математики и физики с 2009 года, 10 лет преподавал информатику в МФТИ. Об авторе
