Координаты вектора в пространстве — это три числа, которые показывают, на сколько вектор «сдвигает» точку вдоль осей $Ox$, $Oy$ и $Oz$. С ними векторы перестают быть стрелками на рисунке и превращаются в простую арифметику: сложение, длина, проверка коллинеарности — всё считается по формулам. Тема проходится в 10–11 классе на геометрии и лежит в основе метода координат, которым решают стереометрические задачи ЕГЭ. Разберём формулы по порядку и закрепим их на примерах.
Что такое координаты вектора в пространстве
Возьмём прямоугольную систему координат $Oxyz$ и три единичных вектора, направленных вдоль осей: $\vec{i}$ вдоль $Ox$, $\vec{j}$ вдоль $Oy$, $\vec{k}$ вдоль $Oz$. Их называют координатными векторами.
Любой вектор $\vec{a}$ в пространстве можно, и притом единственным образом, разложить по координатным векторам:
$$ \vec{a} = x\,\vec{i} + y\,\vec{j} + z\,\vec{k}. $$
Коэффициенты $x$, $y$, $z$ этого разложения и есть координаты вектора. Записывают их так: $\vec{a}\,(x;\, y;\, z)$ или $\vec{a} = \{x;\, y;\, z\}$.
Например, вектор $\vec{a} = 3\vec{i} + 4\vec{j} + 2{,}5\vec{k}$ имеет координаты $(3;\, 4;\, 2{,}5)$. Если отложить его от начала координат, конец попадёт в точку $A(3;\, 4;\, 2{,}5)$. Отсюда полезный факт: координаты радиус-вектора $\overrightarrow{OA}$ совпадают с координатами точки $A$.
Координатные векторы сами имеют простые координаты: $\vec{i}\,(1;\,0;\,0)$, $\vec{j}\,(0;\,1;\,0)$, $\vec{k}\,(0;\,0;\,1)$, а нулевой вектор — $\vec{0}\,(0;\,0;\,0)$.
Как найти координаты вектора по двум точкам
Если известны начало $A(x_1;\, y_1;\, z_1)$ и конец $B(x_2;\, y_2;\, z_2)$, то из координат конца вычитают координаты начала:
$$ \overrightarrow{AB}\,(x_2 - x_1;\; y_2 - y_1;\; z_2 - z_1). $$
Порядок важен: «конец минус начало». Если вычесть наоборот, получится вектор $\overrightarrow{BA}$, противоположный $\overrightarrow{AB}$.
Пример. $A(1;\, -2;\, 3)$, $B(4;\, 2;\, -1)$. Тогда $\overrightarrow{AB}\,(4 - 1;\; 2 - (-2);\; -1 - 3) = (3;\, 4;\, -4)$.
Длина вектора в пространстве
Длина вектора $\vec{a}\,(x;\, y;\, z)$ — это диагональ прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $|x|$, $|y|$, $|z|$, поэтому по теореме Пифагора:
$$ |\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}. $$
Для вектора из предыдущего примера: $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-4)^2} = \sqrt{41}$. Это же расстояние между точками $A$ и $B$.
Действия с векторами в координатах
Все линейные действия выполняются покоординатно. Пусть $\vec{a}\,(x_1;\, y_1;\, z_1)$ и $\vec{b}\,(x_2;\, y_2;\, z_2)$.
| Действие | Формула |
|---|---|
| Сумма | $\vec{a} + \vec{b}\,(x_1 + x_2;\; y_1 + y_2;\; z_1 + z_2)$ |
| Разность | $\vec{a} - \vec{b}\,(x_1 - x_2;\; y_1 - y_2;\; z_1 - z_2)$ |
| Умножение на число | $k\vec{a}\,(kx_1;\; ky_1;\; kz_1)$ |
| Скалярное произведение | $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$ |
Пример. $\vec{a}\,(2;\, -1;\, 3)$, $\vec{b}\,(-1;\, 4;\, 2)$.
- $\vec{a} + \vec{b} = (1;\, 3;\, 5)$;
- $3\vec{a} - 2\vec{b} = (6 + 2;\; -3 - 8;\; 9 - 4) = (8;\, -11;\, 5)$;
- $\vec{a} \cdot \vec{b} = -2 - 4 + 6 = 0$, значит, векторы перпендикулярны.
Скалярное произведение и угол между векторами — отдельная большая тема. Здесь важно запомнить одно: ненулевые векторы перпендикулярны, когда их скалярное произведение равно нулю.
Координаты середины отрезка
Середина $M$ отрезка $AB$ имеет координаты, равные средним арифметическим координат концов:
$$ M\left(\frac{x_1 + x_2}{2};\; \frac{y_1 + y_2}{2};\; \frac{z_1 + z_2}{2}\right). $$
Для $A(1;\, -2;\, 3)$ и $B(4;\, 2;\, -1)$ середина — $M(2{,}5;\, 0;\, 1)$.
Коллинеарные векторы в координатах
Ненулевые векторы коллинеарны, если один получается из другого умножением на число: $\vec{b} = k\vec{a}$. В координатах это значит, что координаты пропорциональны:
$$ \frac{x_2}{x_1} = \frac{y_2}{y_1} = \frac{z_2}{z_1} $$
(если какая-то координата равна нулю, у второго вектора соответствующая координата тоже должна быть нулём).
Пример 1. Векторы $(2;\, -4;\, 6)$ и $(-1;\, 2;\, -3)$: отношения $\frac{2}{-1} = \frac{-4}{2} = \frac{6}{-3} = -2$. Векторы коллинеарны и направлены противоположно, потому что $k < 0$.
Пример 2. При каких $m$ и $n$ векторы $\vec{a}\,(2;\, m;\, -6)$ и $\vec{b}\,(-1;\, 3;\, n)$ коллинеарны?
По первым координатам $k = \frac{2}{-1} = -2$, то есть $\vec{a} = -2\vec{b}$. Тогда $m = -2 \cdot 3 = -6$ и $-6 = -2n$, откуда $n = 3$.
Задача: четвёртая вершина параллелограмма
Даны три вершины параллелограмма $ABCD$: $A(1;\, 0;\, 2)$, $B(3;\, 1;\, -1)$, $C(4;\, -2;\, 0)$. Найдите координаты вершины $D$.
Решение. В параллелограмме $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$. Найдём $\overrightarrow{AB}\,(2;\, 1;\, -3)$. Если $D(x;\, y;\, z)$, то $\overrightarrow{DC}\,(4 - x;\; -2 - y;\; 0 - z)$. Приравниваем координаты:
$$ 4 - x = 2,\quad -2 - y = 1,\quad -z = -3 \;\Rightarrow\; D(2;\, -3;\, 3). $$
Проверка: $\overrightarrow{DC} = (4 - 2;\; -2 + 3;\; 0 - 3) = (2;\, 1;\, -3) = \overrightarrow{AB}$. Верно.
Ответ: $D(2;\, -3;\, 3)$.
Где теряют баллы
где теряют баллы
Вычитают «начало минус конец» и получают вектор с противоположными знаками. Правило одно: координаты конца минус координаты начала.
Где теряют баллы. При нахождении длины забывают, что квадрат отрицательной координаты положителен, или теряют третью координату и считают длину «как на плоскости».
Где теряют баллы. Проверяют коллинеарность только по двум координатам. Пропорциональными должны быть все три.
Где теряют баллы. В задаче про параллелограмм путают порядок вершин и приравнивают $\overrightarrow{AB}$ к $\overrightarrow{CD}$. Векторы противоположных сторон равны только при одинаковом направлении обхода: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$.
Задачи для самопроверки
Задача 1. Даны точки $A(0;\, 3;\, -1)$ и $B(2;\, -1;\, 3)$. Найдите координаты вектора $\overrightarrow{AB}$, его длину и координаты середины отрезка $AB$.
Задача 2. При каком $x$ векторы $(x;\, 2;\, -1)$ и $(4;\, -8;\, 4)$ коллинеарны?
Задача 3. Найдите вектор $\vec{c}$ длины 6, коллинеарный вектору $\vec{a}\,(1;\, -2;\, 2)$ и направленный противоположно ему.
Ответы
Задача 1. $\overrightarrow{AB}\,(2;\, -4;\, 4)$, $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{4 + 16 + 16} = 6$, середина $M(1;\, 1;\, 1)$.
Задача 2. $k = \frac{2}{-8} = -\frac{1}{4}$, тогда $x = 4 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) = -1$.
Задача 3. $|\vec{a}| = 3$, нужен вектор вдвое длиннее с противоположным направлением: $\vec{c} = -2\vec{a} = (-2;\, 4;\, -4)$.
Коротко о главном
Вектор в пространстве задаётся тремя координатами — коэффициентами разложения по $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$. Координаты вектора по двум точкам — «конец минус начало», длина — корень из суммы квадратов координат, сложение и умножение на число — покоординатно, коллинеарность — пропорциональность всех трёх координат. На этих формулах строится метод координат, который выручает в стереометрии, в том числе во второй части ЕГЭ по профильной математике.
Если в геометрии 10–11 класса остались пробелы, их удобно закрывать системно: на курсе математики по школьной программе каждую неделю — занятие по теме и ежедневная практика. Для подготовки к экзамену — курс ЕГЭ по профильной математике.
Материал подготовил Максим Муратов, преподаватель математики, физики и информатики с 2009 года. Об авторе
