Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным, — самый частый тип уравнений в 10 классе и основа задания 14 профильного ЕГЭ. Идея одна: с помощью формул выразить всё через одну тригонометрическую функцию, сделать замену $t = \sin x$ (или $\cos x$, или $\operatorname{tg} x$) и решить обычное квадратное уравнение. Сложность не в квадратном уравнении, а в том, как к нему прийти и что сделать с его корнями. Разберём пять типов таких уравнений с примерами с решением.
Общий алгоритм
- Свести к одной функции. Основное тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, формулы двойного угла, $\operatorname{tg} x \cdot \operatorname{ctg} x = 1$.
- Сделать замену и записать ограничение: для синуса и косинуса $-1 \le t \le 1$, для тангенса ограничения нет.
- Решить квадратное уравнение.
- Отобрать подходящие $t$ и вернуться к $x$, записав ответ сериями.
Тип 1. Уравнение уже квадратное относительно функции
Пример. $2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$.
Замена $t = \sin x$: $2t^2 - t - 1 = 0$, откуда $t_1 = 1$, $t_2 = -\frac{1}{2}$. Оба значения лежат на отрезке $[-1;\, 1]$.
- $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$;
- $\sin x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Тип 2. Синус и косинус вместе: основное тождество
Если в уравнении есть $\cos^2 x$ и $\sin x$ (или наоборот), квадрат заменяют по основному тождеству.
Пример. $2\cos^2 x + 5\sin x - 4 = 0$.
Подставим $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$:
$$ 2(1 - \sin^2 x) + 5\sin x - 4 = 0 \;\Longleftrightarrow\; 2\sin^2 x - 5\sin x + 2 = 0. $$
Замена $t = \sin x$: $2t^2 - 5t + 2 = 0$, $t_1 = 2$, $t_2 = \frac{1}{2}$. Значение $t = 2$ не подходит: синус не бывает больше 1. Остаётся $\sin x = \frac{1}{2}$:
$$ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}. $$
Тип 3. Косинус двойного угла
Формула $\cos 2x$ записывается тремя способами, и выбирают тот, что даёт одну функцию:
$$ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x = \cos^2 x - \sin^2 x. $$
Пример. $\cos 2x - 5\cos x + 3 = 0$.
В уравнении есть $\cos x$, значит, берём $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$:
$$ 2\cos^2 x - 1 - 5\cos x + 3 = 0 \;\Longleftrightarrow\; 2\cos^2 x - 5\cos x + 2 = 0. $$
Замена $t = \cos x$ даёт $t = 2$ (не подходит) и $t = \frac{1}{2}$. Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Тип 4. Тангенс и котангенс
Так как $\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x}$, уравнение с тангенсом и котангенсом сводится к квадратному умножением на $\operatorname{tg} x$.
Пример. $\operatorname{tg} x + 3\operatorname{ctg} x = 4$.
Область определения: $\sin x \ne 0$ и $\cos x \ne 0$. Замена $t = \operatorname{tg} x$, $t \ne 0$:
$$ t + \frac{3}{t} = 4 \;\Longleftrightarrow\; t^2 - 4t + 3 = 0 \;\Longleftrightarrow\; t = 1 \ \text{или}\ t = 3. $$
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$; $x = \operatorname{arctg} 3 + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Обратите внимание: у тангенса период $\pi$, а не $2\pi$.
Тип 5. Однородные уравнения второй степени
Уравнение вида $a\sin^2 x + b\sin x\cos x + c\cos^2 x = 0$ называют однородным: в каждом слагаемом суммарная степень синуса и косинуса равна двум.
Пример. $3\sin^2 x - 4\sin x\cos x + \cos^2 x = 0$.
Сначала проверим, может ли $\cos x = 0$. Тогда $\sin^2 x = 1$, и уравнение даёт $3 = 0$ — неверно. Значит, $\cos x \ne 0$, и на $\cos^2 x$ можно делить:
$$ 3\operatorname{tg}^2 x - 4\operatorname{tg} x + 1 = 0 \;\Longleftrightarrow\; \operatorname{tg} x = 1 \ \text{или}\ \operatorname{tg} x = \frac{1}{3}. $$
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$; $x = \operatorname{arctg}\frac{1}{3} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Если справа стоит не ноль, а число $d$, его превращают в однородное слагаемое: $d = d(\sin^2 x + \cos^2 x)$.
Как определить тип уравнения
Перед решением полезно за десять секунд посмотреть, какие функции и аргументы есть в уравнении:
| Что видим в уравнении | Что делаем | Замена |
|---|---|---|
| только $\sin x$ и $\sin^2 x$ (или только косинус) | ничего, сразу замена | $t = \sin x$ |
| $\cos^2 x$ и $\sin x$ | $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ | $t = \sin x$ |
| $\sin^2 x$ и $\cos x$ | $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ | $t = \cos x$ |
| $\cos 2x$ и $\cos x$ | $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ | $t = \cos x$ |
| $\cos 2x$ и $\sin x$ | $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ | $t = \sin x$ |
| $\operatorname{tg} x$ и $\operatorname{ctg} x$ | $\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x}$ | $t = \operatorname{tg} x$ |
| все слагаемые второй степени по $\sin x$ и $\cos x$ | делим на $\cos^2 x$ | $t = \operatorname{tg} x$ |
Если ни одна строка не подходит, уравнение, скорее всего, решается другим способом — разложением на множители, как в уравнениях с $\sin 2x$.
Как это связано с ЕГЭ
В задании 14 профильного ЕГЭ почти всегда стоит уравнение одного из этих типов, а во втором пункте нужно отобрать корни на отрезке. Как делать отбор по окружности и двойным неравенством и как оформить решение по критериям, мы подробно разобрали в статье про задание 14 ЕГЭ по профильной математике.
Где теряют баллы
где теряют баллы
Не проверяют, что после замены $t = \sin x$ или $t = \cos x$ корень лежит в $[-1;\, 1]$, и выписывают серию для $\sin x = 2$.
Где теряют баллы. Делят однородное уравнение на $\cos^2 x$, не проверив, что $\cos x = 0$ не даёт решений. Если даёт, серия $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ теряется.
Где теряют баллы. Берут для $\cos 2x$ «не ту» формулу и получают уравнение с двумя функциями вместо одной.
Где теряют баллы. Пишут для тангенса период $2\pi$ и теряют половину решений.
Задачи для самопроверки
Задача 1. $2\sin^2 x + 3\sin x - 2 = 0$.
Задача 2. $6\cos^2 x + 5\sin x - 7 = 0$.
Задача 3. $\sin^2 x + \sin x\cos x - 2\cos^2 x = 0$.
Ответы
Задача 1. $\sin x = \frac{1}{2}$ (корень $\sin x = -2$ не подходит): $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$; $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$.
Задача 2. После замены $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$: $6\sin^2 x - 5\sin x + 1 = 0$, $\sin x = \frac{1}{2}$ или $\sin x = \frac{1}{3}$. Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$; $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$; $x = \arcsin\frac{1}{3} + 2\pi k$; $x = \pi - \arcsin\frac{1}{3} + 2\pi k$.
Задача 3. Однородное, $\cos x \ne 0$: $\operatorname{tg}^2 x + \operatorname{tg} x - 2 = 0$, $\operatorname{tg} x = 1$ или $\operatorname{tg} x = -2$. Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$; $x = -\operatorname{arctg} 2 + \pi k$.
Во всех ответах $k \in \mathbb{Z}$.
Коротко о главном
Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным, решаются по одной схеме: свести к одной функции, сделать замену, решить квадратное уравнение, отбросить лишние корни и записать серии. Для перехода к одной функции нужны три инструмента: основное тождество, формулы $\cos 2x$ и деление однородного уравнения на $\cos^2 x$. Проверяйте ограничение $|t| \le 1$ и помните о периоде тангенса.
Если тригонометрия даётся с трудом, её удобно разобрать системно: на курсе подготовки к ЕГЭ по профильной математике каждую неделю — занятие по теме, каждый день — практика и ответы цифрового двойника преподавателя на вопросы.
Разбор подготовил Максим Муратов, преподаватель математики, физики и информатики с 2009 года. Об авторе
