Задание 14 открывает вторую часть профильного ЕГЭ по математике, и это первая задача, где проверяют не только ответ, но и ход решения. Почти всегда это тригонометрическое уравнение и задача из двух пунктов: в пункте а) уравнение нужно решить, в пункте б) — найти его корни, принадлежащие заданному отрезку. Ниже разберём, как решать задание 14, чтобы работа выдерживала проверку по критериям, и покажем оба способа отбора корней на двух подробных примерах.
Номер задания в 2027 году. В КИМ ЕГЭ 2026 года и в старых сборниках это задание шло под номером 13. В проекте КИМ 2027 ФИПИ добавил в первую часть новые задания, и уравнение с отбором корней стало заданием 14. Содержание и критерии оценивания (2 первичных балла) не изменились.
Как оценивается задание 14
За задание 14 можно получить 2 первичных балла. Критерии ФИПИ устроены так:
- 2 балла — обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах;
- 1 балл — обоснованно получен верный ответ в пункте а) или ответы неверные из-за вычислительной ошибки, но есть верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов;
- 0 баллов — всё остальное.
Отсюда практический вывод: пункт б) опирается на пункт а). Если в а) потеряна серия корней, отбор в б) тоже будет неверным, и за всё задание можно получить ноль. Поэтому сначала аккуратно решаем уравнение, потом отбираем.
Идея решения: две задачи в одной
Условие обычно выглядит так: «а) Решите уравнение… б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку…». Сформулируем задачу по-нашему. Дано: уравнение и отрезок. Найти: все серии решений и те корни из них, что лежат на отрезке. Решаем в два хода.
Пункт а). Почти любое уравнение этого задания решается по одному из двух сценариев:
- Замена. С помощью тождеств $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ или $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ всё выражается через одну функцию — $\sin x$ или $\cos x$. Делаем замену $t = \sin x$ (или $t = \cos x$) и решаем квадратное уравнение.
- Разложение на множители. После применения формулы двойного угла $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ в уравнении появляется общий множитель. Выносим его за скобки: произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю.
В конце пункта а) записываем ответ сериями вида $x = \alpha + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$.
Пункт б). Из бесконечных серий нужно выбрать конечное число корней. Два надёжных способа:
- Единичная окружность. Отмечаем на окружности дугу, соответствующую отрезку, и точки-решения. Точки, попавшие на дугу, подписываем теми значениями угла, которые соответствуют этому отрезку.
- Двойное неравенство. Для каждой серии решаем $a \le \alpha + 2\pi k \le b$ относительно целого $k$ и подставляем найденные $k$.
Окружность быстрее и нагляднее, неравенство — надёжнее при длинных отрезках и непривычных сериях. На экзамене достаточно одного способа, но на тренировке полезно делать оба: они проверяют друг друга.
Пример 1. Уравнение, сводящееся к квадратному
Условие. а) Решите уравнение $$2\sin^2 x - 3\cos x - 3 = 0.$$ б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi;\ \frac{7\pi}{2}\right]$.
Пункт а): замена и квадратное уравнение
В уравнении есть $\sin^2 x$ и $\cos x$. Выразим всё через косинус: $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$. $$2(1 - \cos^2 x) - 3\cos x - 3 = 0 \;\Longleftrightarrow\; 2\cos^2 x + 3\cos x + 1 = 0.$$
Пусть $t = \cos x$, где $-1 \le t \le 1$. Получаем $2t^2 + 3t + 1 = 0$. Дискриминант $D = 9 - 8 = 1$, корни $$t_1 = \frac{-3 - 1}{4} = -1, \qquad t_2 = \frac{-3 + 1}{4} = -\frac{1}{2}.$$
Оба значения лежат в промежутке $[-1;\ 1]$, значит, оба дают решения. Возвращаемся к замене:
- $\cos x = -1 \;\Rightarrow\; x = \pi + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$;
- $\cos x = -\frac{1}{2} \;\Rightarrow\; x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$.
Ответ а): $\pi + 2\pi k$; $\pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
где теряют баллы
После замены забывают проверить, что $t$ лежит в $[-1;\ 1]$. Здесь оба корня подходят, но если бы получилось, например, $t = 2$, серию по нему пришлось бы отбросить с пояснением «$\cos x = 2$ — решений нет».
Пункт б), способ 1: единичная окружность
Отрезок $\left[2\pi;\ \frac{7\pi}{2}\right]$ начинается в точке $2\pi$ (правая точка окружности) и идёт против часовой стрелки на $\frac{3\pi}{2}$ — через верх и левую точку до нижней точки $\frac{7\pi}{2}$.
На этой дуге лежат все три точки-решения: точка $\frac{2\pi}{3}$ во второй четверти, точка $\pi$ слева и точка $-\frac{2\pi}{3}$ (она же $\frac{4\pi}{3}$) в третьей четверти. Подписываем их значениями на этом обороте, то есть прибавляем $2\pi$: $$\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3}, \qquad \pi + 2\pi = 3\pi, \qquad \frac{4\pi}{3} + 2\pi = \frac{10\pi}{3}.$$
Последняя точка лежит близко к концу отрезка, поэтому сравним явно: $\frac{10\pi}{3} = \frac{20\pi}{6} < \frac{21\pi}{6} = \frac{7\pi}{2}$. Подходит.
Пункт б), способ 2: двойное неравенство
Делим все части неравенства на $\pi$ и находим целые $k$ для каждой серии.
Серия $x = \pi + 2\pi k$: $$2 \le 1 + 2k \le \frac{7}{2} \;\Longleftrightarrow\; \frac{1}{2} \le k \le \frac{5}{4} \;\Rightarrow\; k = 1,\ x = 3\pi.$$
Серия $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$: $$2 \le \frac{2}{3} + 2k \le \frac{7}{2} \;\Longleftrightarrow\; \frac{2}{3} \le k \le \frac{17}{12} \;\Rightarrow\; k = 1,\ x = \frac{8\pi}{3}.$$
Серия $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$: $$2 \le -\frac{2}{3} + 2k \le \frac{7}{2} \;\Longleftrightarrow\; \frac{4}{3} \le k \le \frac{25}{12} \;\Rightarrow\; k = 2,\ x = \frac{10\pi}{3}.$$
Оба способа дали один и тот же результат.
Ответ б): $\frac{8\pi}{3}$; $3\pi$; $\frac{10\pi}{3}$.
Пример 2. Двойной угол и разложение на множители
Условие. а) Решите уравнение $$\sin 2x = \sqrt{3}\cos x.$$ б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{7\pi}{2};\ -2\pi\right]$.
Пункт а): выносим общий множитель
Расписываем синус двойного угла по формуле и переносим всё в одну часть: $$2\sin x\cos x - \sqrt{3}\cos x = 0 \;\Longleftrightarrow\; \cos x\,(2\sin x - \sqrt{3}) = 0.$$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
- $\cos x = 0 \;\Rightarrow\; x = \frac{\pi}{2} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}$;
- $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \;\Rightarrow\; x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ или $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}$.
Ответ а): $\frac{\pi}{2} + \pi k$; $\frac{\pi}{3} + 2\pi k$; $\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
где теряют баллы
Самая частая ошибка в таких уравнениях — разделить обе части на $\cos x$. Получается $2\sin x = \sqrt{3}$, а целая серия $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ исчезает. Делить на выражение с переменной можно, только если доказано, что оно не равно нулю. Надёжнее всегда выносить множитель за скобки.
Пункт б), способ 1: единичная окружность
Точка $-\frac{7\pi}{2}$ на окружности совпадает с верхней точкой ($-\frac{7\pi}{2} + 4\pi = \frac{\pi}{2}$), а $-2\pi$ — с правой. Отрезок длиной $\frac{3\pi}{2}$ — это дуга от верхней точки против часовой стрелки через левую и нижнюю до правой.
Смотрим на точки-решения:
- верхняя точка — это сам левый конец отрезка, $x = -\frac{7\pi}{2}$. Концы входят в отрезок, корень подходит;
- точка $\frac{2\pi}{3}$ лежит на дуге; на этом обороте ей соответствует $\frac{2\pi}{3} - 4\pi = -\frac{10\pi}{3}$;
- нижняя точка на дуге — это $-\frac{7\pi}{2} + \pi = -\frac{5\pi}{2}$;
- точка $\frac{\pi}{3}$ в первой четверти на дугу не попадает: ближайшие её значения $-\frac{11\pi}{3}$ и $-\frac{5\pi}{3}$ лежат по разные стороны от отрезка.
Пункт б), способ 2: двойное неравенство
Серия $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ (обратите внимание: период здесь $\pi$, а не $2\pi$): $$-\frac{7}{2} \le \frac{1}{2} + k \le -2 \;\Longleftrightarrow\; -4 \le k \le -\frac{5}{2} \;\Rightarrow\; k = -4,\ -3.$$ Получаем $x = -\frac{7\pi}{2}$ и $x = -\frac{5\pi}{2}$.
Серия $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$: $$-\frac{7}{2} \le \frac{1}{3} + 2k \le -2 \;\Longleftrightarrow\; -\frac{23}{12} \le k \le -\frac{7}{6}.$$ Между $-1{,}92$ и $-1{,}17$ целых чисел нет, значит, ни один корень этой серии на отрезок не попадает.
Серия $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$: $$-\frac{7}{2} \le \frac{2}{3} + 2k \le -2 \;\Longleftrightarrow\; -\frac{25}{12} \le k \le -\frac{4}{3} \;\Rightarrow\; k = -2,\ x = -\frac{10\pi}{3}.$$
Ответ б): $-\frac{7\pi}{2}$; $-\frac{10\pi}{3}$; $-\frac{5\pi}{2}$.
Как оформить решение в бланке
Проверяющий видит только то, что написано в бланке ответов № 2, поэтому решение должно быть понятно без устных пояснений. Удобный порядок записи:
- Преобразование. Одной-двумя строками покажите, какое тождество применили: например, «$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$» или «$\sin 2x = 2\sin x\cos x$».
- Замена или разложение. Если вводите $t$, укажите ограничение $-1 \le t \le 1$ и прямо напишите, какие значения $t$ подходят, а какие нет.
- Серии. Каждую серию запишите отдельно и не забудьте «$k \in \mathbb{Z}$». Объединять серии в одну формулу не обязательно — это лишний повод ошибиться.
- Отбор. Нарисуйте окружность с выделенной дугой и подписанными точками или выпишите двойные неравенства с найденными $k$. Достаточно одного способа, но он должен быть виден.
- Ответ. Запишите ответы обоих пунктов отдельно: «а) …; б) …».
Если времени мало, не сокращайте пункт б) до одного ответа: верные числа без обоснования отбора проверяющий может не засчитать. Лучше короткое, но полное решение, чем длинное без отбора.
Типичные ошибки
где теряют баллы
Делят на $\sin x$ или $\cos x$ и теряют серию. Выносите общий множитель за скобки — так сохранятся все решения.
Где теряют баллы. Не проверяют, что после замены $t = \sin x$ или $t = \cos x$ значение лежит в $[-1;\ 1]$, и пишут серию для $\sin x = 2$.
Где теряют баллы. Путают периоды: у серии $\frac{\pi}{2} + \pi k$ шаг $\pi$, и при отборе на окружности такая серия даёт две точки, а не одну.
Где теряют баллы. На окружности подписывают точку «главным» углом ($\frac{2\pi}{3}$), а не значением на отрезке ($-\frac{10\pi}{3}$). В ответ пункта б) должны идти именно числа из отрезка.
Где теряют баллы. Теряют корни на концах отрезка. Отрезок замкнут, поэтому корень, совпадающий с концом, входит в ответ — как $-\frac{7\pi}{2}$ во втором примере.
Где теряют баллы. В пункте б) пишут только ответ, без окружности или неравенств. Отбор должен быть обоснован: проверяющему нужно видеть, откуда взялись именно эти корни.
Задачи для самопроверки
Решите каждое уравнение и отберите корни на отрезке двумя способами. Если ответы совпали — отбор сделан верно.
Задача 1. а) Решите уравнение $2\cos^2 x - \sin x - 1 = 0$. б) Найдите корни на отрезке $\left[-\frac{5\pi}{2};\ -\pi\right]$.
Задача 2. а) Решите уравнение $\sin 2x = \sin x$. б) Найдите корни на отрезке $\left[\frac{3\pi}{2};\ 3\pi\right]$.
Задача 3. а) Решите уравнение $\cos 2x + 3\sin x = 2$. б) Найдите корни на отрезке $\left[-2\pi;\ -\frac{\pi}{2}\right]$.
Подсказка к задаче 3: используйте $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$.
Ответы
Задача 1. а) $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k$; $\frac{\pi}{6} + 2\pi k$; $\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. б) $-\frac{5\pi}{2}$; $-\frac{11\pi}{6}$; $-\frac{7\pi}{6}$.
Задача 2. а) $\pi k$; $\pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. б) $\frac{5\pi}{3}$; $2\pi$; $\frac{7\pi}{3}$; $3\pi$.
Задача 3. а) $\frac{\pi}{2} + 2\pi k$; $\frac{\pi}{6} + 2\pi k$; $\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. б) $-\frac{11\pi}{6}$; $-\frac{3\pi}{2}$; $-\frac{7\pi}{6}$.
Коротко о главном
Задание 14 решается по одной схеме: свести уравнение к одной функции или разложить на множители, аккуратно записать все серии, а затем отобрать корни на отрезке — по окружности или через двойное неравенство. Большинство потерь баллов связано не с трудной математикой, а с невнимательностью: потерянная серия, лишняя серия для $\sin x = 2$, неверный период, забытый конец отрезка.
Если хотите разобрать вторую часть системно, с ежедневной практикой и ответами на вопросы в любое время, посмотрите наш курс подготовки к ЕГЭ по профильной математике. А проверить, как вы решаете задание 14 в условиях экзамена, можно на пробном ЕГЭ.
