Задание 11 ЕГЭ по профильной математике — текстовая задача: на движение, на совместную работу, на смеси и сплавы. Это задание первой части с кратким ответом, за него дают 1 первичный балл. В КИМ 2027 года нумерация сдвинулась: раньше эти задачи стояли под номером 10, а в проекте демоверсии 2027 — под номером 11. Разберём универсальный метод решения, оба варианта задания из демоверсии и основные типы задач.
Как устроено задание 11
В условии описана жизненная ситуация: кто-то едет, наполняет бассейн, смешивает растворы. Нужно составить уравнение по условию, решить его и выбрать корень, который подходит по смыслу. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь.
Почти все задачи этого номера держатся на трёх формулах одного вида:
| Тип задачи | Формула |
|---|---|
| движение | расстояние = скорость × время, $S = vt$ |
| работа | работа = производительность × время, $A = pt$ |
| смеси и сплавы | масса вещества = концентрация × масса смеси, $m = c \cdot M$ |
Метод: таблица из трёх столбцов
Самый надёжный способ — оформить условие таблицей. В строках — участники (первый и второй велосипедист, две трубы, два раствора), в столбцах — три величины из формулы. Неизвестное обозначают буквой, остальное выражают через неё, а уравнение составляют по той фразе условия, которая ещё не использована.
Разбор демоверсии 2027: задача на движение
Условие. Два велосипедиста одновременно отправились в 90-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 5 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.
Решение. Пусть скорость второго $x$ км/ч, тогда первого — $x + 5$ км/ч. Время второго $\frac{90}{x}$ ч, первого — $\frac{90}{x+5}$ ч. Второй ехал на 3 часа дольше:
$$ \frac{90}{x} - \frac{90}{x+5} = 3. $$
Умножим на $x(x+5)$: $90(x+5) - 90x = 3x(x+5)$, то есть $450 = 3x^2 + 15x$, или $x^2 + 5x - 150 = 0$. Корни: $x = 10$ и $x = -15$. Скорость положительна, значит, $x = 10$. Но спрашивают скорость первого: $x + 5 = 15$.
Ответ: 15.
Разбор демоверсии 2027: задача на смеси
Условие. Смешав 45%-й и 97%-й растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62%-й раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50%-го раствора той же кислоты, то получили бы 72%-й раствор кислоты. Сколько килограммов 45%-го раствора использовали для получения смеси?
Решение. Пусть 45%-го раствора взяли $x$ кг, 97%-го — $y$ кг. Считаем массу чистой кислоты. В первом случае смесь весит $x + y + 10$ кг, кислоты в ней $0{,}45x + 0{,}97y$:
$$ 0{,}45x + 0{,}97y = 0{,}62(x + y + 10). $$
Во втором случае добавляется ещё $0{,}5 \cdot 10 = 5$ кг кислоты:
$$ 0{,}45x + 0{,}97y + 5 = 0{,}72(x + y + 10). $$
Вычтем первое уравнение из второго: $5 = 0{,}1(x + y + 10)$, откуда $x + y = 40$. Подставим в первое: $0{,}45x + 0{,}97(40 - x) = 0{,}62 \cdot 50 = 31$, то есть $38{,}8 - 0{,}52x = 31$ и $x = 15$.
Ответ: 15.
Приём «вычесть одно уравнение из другого» здесь сразу даёт общую массу. Он часто срабатывает в задачах на смеси.
Задача на совместную работу
Условие. Первая труба пропускает на 1 литр в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 110 литров она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая заполняет резервуар объёмом 99 литров?
Решение. Пусть первая труба пропускает $x$ л/мин, вторая — $x + 1$ л/мин. Время первой — $\frac{110}{x}$ мин, второй — $\frac{99}{x+1}$ мин:
$$ \frac{110}{x} - \frac{99}{x+1} = 2 \;\Longrightarrow\; 2x^2 - 9x - 110 = 0 \;\Longrightarrow\; x = 10 \ \text{или}\ x = -5{,}5. $$
Подходит $x = 10$. Проверка: $110 : 10 = 11$ мин, $99 : 11 = 9$ мин, разница 2 мин.
Ответ: 10.
Движение по воде
Условие. Моторная лодка прошла против течения 255 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения 1 км/ч.
Решение. Пусть скорость лодки $v$ км/ч. Против течения она плывёт со скоростью $v - 1$, по течению — $v + 1$:
$$ \frac{255}{v - 1} - \frac{255}{v + 1} = 2 \;\Longrightarrow\; \frac{510}{v^2 - 1} = 2 \;\Longrightarrow\; v^2 = 256,\ v = 16. $$
Ответ: 16.
Где теряют баллы
где теряют баллы
Находят $x$ и записывают его в ответ, хотя спрашивали другую величину — как в задаче про велосипедистов, где ответ $x + 5$, а не $x$.
Где теряют баллы. Смешивают единицы: скорость в км/ч, а время в минутах. Переводите всё в одни единицы до составления уравнения.
Где теряют баллы. В задачах на смеси считают проценты от разных масс. Составляйте уравнение для массы чистого вещества, а не для процентов.
Где теряют баллы. Не отбрасывают отрицательный корень или берут его в ответ. Скорость, время и масса положительны.
Задачи для самопроверки
Задача 1. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 80 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 36 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
Задача 2. Двое рабочих, работая вместе, выполняют работу за 12 дней. Первый рабочий один выполнил бы её за 20 дней. За сколько дней выполнит эту работу второй рабочий, работая один?
Задача 3. Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди. Масса второго сплава на 3 кг больше массы первого. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава в килограммах.
Ответы
Задача 1. $80$ км/ч $= \frac{200}{9}$ м/с, длина $\frac{200}{9} \cdot 36 = 800$ м.
Задача 2. Производительность второго $\frac{1}{12} - \frac{1}{20} = \frac{1}{30}$, ответ — 30 дней.
Задача 3. Масса первого сплава $m$: $0{,}1m + 0{,}4(m + 3) = 0{,}3(2m + 3)$, $m = 3$, масса третьего — $2m + 3 = 9$ кг.
Коротко о главном
Задание 11 ЕГЭ по профильной математике решается по одной схеме: таблица «величина = скорость × время» (или производительность × время, концентрация × масса), уравнение по неиспользованной фразе условия, решение и выбор корня по смыслу. Перед записью ответа перечитайте вопрос: какую именно величину нужно найти. В КИМ 2027 года задачи на проценты из области финансов вынесены в отдельное задание 13, а в задании 11 чаще всего встречаются движение, работа и смеси — как в обоих вариантах демоверсии.
Похожая по методу тема — уравнения второй части. Например, в статье про задание 14 ЕГЭ профиль разобраны тригонометрические уравнения с отбором корней. Если хотите пройти всю первую часть системно, с занятием раз в неделю и ежедневной практикой, посмотрите курс подготовки к ЕГЭ по профильной математике. Проверить себя в формате экзамена можно на пробном ЕГЭ.
Разбор подготовил Максим Муратов, преподаватель математики, физики и информатики с 2009 года. Об авторе
